임베디드기능사 필기 05 — 불 대수와 카르노맵 (드모르간·간소화·최소화)

임베디드기능사 필기 05 — 불 대수와 카르노맵 (드모르간·간소화·최소화)

출제기준 대단원 4: 불 대수
계산 문제가 많이 나와요. 카르노맵 간소화는 반드시 연습!

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불 대수 기본 공리 ⭐

AND 연산: A·B
OR 연산:  A+B
NOT 연산: A' (또는 Ā)

기본 공리:
  A+0=A    A·1=A
  A+1=1    A·0=0
  A+A=A    A·A=A
  A+A'=1   A·A'=0
  (A')'=A

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불 대수 정리 ⭐⭐

교환법칙: A+B=B+A / A·B=B·A
결합법칙: (A+B)+C=A+(B+C)
분배법칙: A·(B+C)=A·B+A·C
          A+(B·C)=(A+B)·(A+C)
흡수법칙: A+A·B=A / A·(A+B)=A

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드모르간의 법칙 ⭐⭐⭐

(A+B)' = A'·B'
(A·B)' = A'+B'

NOR 게이트  = (A+B)' = A'·B'
NAND 게이트 = (A·B)' = A'+B'

기출 문제

Q. (A+B)'를 드모르간으로 변환하면?

A. A'·B'

 

Q. NAND 게이트의 출력식을 드모르간으로 변환하면?

A. (A·B)' = A'+B'

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논리식 간소화 ⭐⭐

불 대수 이용 간소화

예: F = AB + AB'
  = A(B+B')
  = A·1
  = A

예: F = A'B + AB + AB'
  = B(A'+A) + AB'
  = B + AB'
  = B + A (흡수법칙)
  = A + B

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카르노맵 (Karnaugh Map) ⭐⭐⭐

2변수 카르노맵

     A'    A
B' | 00 | 10 |
B  | 01 | 11 |

3변수 카르노맵

        AB
C  | 00 | 01 | 11 | 10 |

주의: 01 → 11 → 10 순서! (그레이코드 순서)

 

카르노맵 간소화 규칙 ⭐⭐⭐

1을 묶는 규칙:
  1) 1개, 2개, 4개, 8개... (2의 거듭제곱 개수)
  2) 직사각형 또는 정사각형으로 묶음
  3) 가능한 크게 묶을수록 좋음
  4) 가장자리는 서로 연결 (토러스 구조)
  5) Don't Care(X)는 1로 처리해서 묶음 최대화

묶인 개수 → 제거되는 변수 수:
  2개 묶음  → 변수 1개 제거
  4개 묶음  → 변수 2개 제거
  8개 묶음  → 변수 3개 제거

예시

F(A,B,C) = Σ(0,1,4,5)

카르노맵:
        AB
C  | 00 | 01 | 11 | 10 |
0  |  1 |  0 |  0 |  1 |
1  |  1 |  0 |  0 |  1 |

m0,m1 (00열) 와 m4,m5 (10열) 묶음
→ B'(A'와 A가 사라짐은 아님... )
→ 정확히: 왼쪽 두 열 + 오른쪽 두 열 = 4개 묶음
→ F = B'

기출 문제

Q. F(X,Y,Z) = Σ(2,3,6,7) 을 카르노맵으로 간소화하면?

A. F = Y

카르노맵:
     XY
Z  | 00 | 01 | 11 | 10 |
0  |  0 |  0 |  1 |  1 |
1  |  0 |  0 |  1 |  1 |

11열, 10열 모두 1 → Y=1인 영역
→ F = Y

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SOP와 POS ⭐

SOP (Sum of Products, 적의 합)
  → 각 항이 AND, 전체가 OR
  → 최소항(Minterm) 형식
  → F = A'B + AB' + AB

POS (Product of Sums, 합의 적)
  → 각 항이 OR, 전체가 AND
  → 최대항(Maxterm) 형식
  → F = (A+B)(A+B')

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핵심 정리

✅ 드모르간: (A+B)'=A'B' / (A·B)'=A'+B'
✅ 흡수법칙: A+AB=A
✅ 카르노맵: 2의 거듭제곱 개수로 묶음
✅ 묶음이 클수록 변수 적게 남음
✅ Don't Care(X)=1로 처리
✅ 가장자리는 서로 연결 (토러스)
✅ Σ(2,3,6,7) → F=Y

 

다음 편에서는 조합·순서 논리회로와 플립플롭으로 이어갑니다!